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Lindahl模型的一點討論



這是本專欄的第 35 篇日記

(回來寫正經專欄啦~)

昨天高微課講公共物品(Public Goods),介紹了Lindahl模型,結果後面引發了一點有趣的討論。

首先說一下問題設定:

一個社區當中有I個居民(英文字母I,不是數位1),有兩種商品:私人商品和公共商品。

每個家庭有各自的私人商品稟賦omega^i,沒有公共商品稟賦。

每個家庭將一部分私人商品交給社區,由社區生產公共商品。 假設提交的私人商品總量是z,那麼生產的公共商品數量為xi = g(z),生產函數g(cdot)可微、單調增、concave。 我們可以把生產函數寫成反函數(由於不是嚴格單調增,準確地說應該是correspondence)的形式,也就是理解成成本函數z=c(xi),成本函數應該是convex的。

然後家庭消費剩下的私人商品x^i和共同擁有的公共商品xi(注意公共商品沒有對手性(non-rivalry),所以所有人消費的公共商品數量是一樣的),得到的效用是u^i(x^i,xi),效用函數可微、對各變數分別單調增、quasi-concave、滿足Inada Condition(所以消費量必須是正的)。

可行分配(feasible allocation)需要滿足資源約束

sum_{iin I}x^i+z = sum_{iin I} omega^i stackrel {Delta}{=}w

其中z=c(xi)

相應的,對於一個可行分配,如果不存在另外一個可行分配,使得在後者當中至少有一個家庭的效用比前者嚴格更高,而其它家庭的效用至少一樣,那麼前者就是帕累托最優分配,這也是一個常規的定義。

帕累托最優分配可以通過解社會規劃者問題來求

max_{x,xi}sum_{iin I}alpha_i u^i(x^i,xi)
s.t. sum_{iin I}x^i + c(xi) = w

其中alpha_i是Pareto weights,表示社會規劃者對各個家庭的所施加的權重。

用拉格朗日乘數法,求一階條件後,我們可以知道,如下兩個等式描述了這個問題的帕累托最優分配:

一個是上述資源約束;

另一個是c'(xi) = sum_{iin I} frac{partial u^i/partial xi}{partial u^i/partial x^i} stackrel{Delta}{=}sum_{iin I}p^i(x^i,xi)

後一個等式的經濟學含義是很明顯的:等式左側是多生產一單位公共商品的成本,右邊是多生產一單位公共商品(同時家庭少消費一部分私人商品)的福利,兩者相等時總福利最大。 右邊定義的p^i函數就表示了多生產一單位公共商品給每個家庭帶來的福利,也可以認為就是家庭對這額外一單位公共商品的估值(valuation)(注意是以私人物品為單位的)。

終於說到正題了。 Lindahl模型的想法是,我們沒有centralized的社會規劃者,只有decentralized的家庭和生產,為了達到帕累托最優,我們要求每個家庭在使用公共商品時需要付出p^i的價格購買公共商品。 於是,Lindahl均衡就是:

首先,家庭的效用最大化問題

max_{x^i,xi} u^i(x^i,xi)
s.t. x^i + p^ixi = omega^i

其次,公共商品生產的利潤最大化問題

max (sum_{iin I}p^i)xi - c(xi)

最後,市場出清

sum_{i in I}x^i+c(xi) = w

可以證明,Lindahl均衡的分配如果存在,一定是帕累托最優分配。

這是因為家庭效用最大化問題的一階條件要求p^i = p^i(x^i,xi),而生產利潤最大化問題的一階條件要求sum_{iin I}p^i = c'(xi),這兩者一結合就是帕累托最優分配的第二個條件。 而市場出清就是資源約束,也就是帕累托最優分配的第一個條件。

但是這只是看起來很美…… 事實上公共物品的問題就在於,它不僅是非對手性的(non-rivalry)的,而且是非排它性的(non-excludable)(有排它性的商品,Mankiw的書上叫club goods,俱樂部商品),所以你沒法要求別人一定要付錢購買;所以公共物品面臨搭便車(free ride)的問題,然後就引出來機制設計的問題。

不過這個不是我今天想講的重點。 上面這些就是我們上課的時候的內容,但是下課以後我就去找教授問問題了:這個Lindahl模型的設定貌似錯了吧?

如果我們已經求出來一個Lindahl均衡的解了,那麼它一定要滿足

1. 所有的預算約束和資源約束

2. 所有的一階條件

那麼我們看,首先把所有家庭的預算約束相加

sum_{iin I}x^i + (sum_{iin I}p^i)xi = w

再減去資源約束

(sum_{iin I}p^i)xi - c(xi) = 0

這說明生產利潤最大化時,利潤為0。

然後,我們又根據生產利潤最大化的一階條件

sum_{i in I}p^i = c'(xi)

得到

c'(xi) xi = c(xi)

重新排列一下

c'(xi) = frac{c(xi)}{xi}

一個正常的想法是生產0個公共商品的總成本是0, 那麼

c'(xi) = frac{c(xi) - c(0)}{xi - 0}

但因為我們假定了生產函數是concave的,那麼成本函數就是convex的,除非生產函數是線性的,否則這個式子不成立,但線性生產函數的要求又太強了……

那麼我們能不能放棄生產0個公共商品的總成本是0這個假設呢? 也就是說,生產是有固定成本的?

也不行,如果生產是有固定成本的,那麼生產函數在投入小於固定成本的部分是線性的,大於固定成本之後的部分是concave的,在固定成本處就會有一個kinky,生產函數總體就不是concave的了,進而成本函數總體也就不是convex的了,這個時候就必須考慮邊角解的情況了——如果固定成本足夠大, 也許不生產公共商品才是最優選擇。

但是問題並不是不能解決的,實際上我們要做的不是在生產函數上做文章。

我回想起我大三上公共財政學剛開始學一般均衡的時候,我認為學到最重要的一句話是:所有的收益和損失都是人的,不是企業的——企業的收益和損失,最後還是要歸結為投資人的收益和損失。

所以,我們可以允許生產利潤不為0,但是相應的生產利潤(或虧損)由家庭承擔就行了。

既然每個家庭投入了p^i以購買公共商品,我們可以將其視為每個家庭入股了公共商品生產的企業,其份額為

tau_i=frac{p^i}{sum_{iin I}p^i}

然後將企業利潤的tau_i部分以lump sum的形式返還給各個家庭就可以了。 由於是lump sum,家庭效用最大化的一階條件並不受影響,但是上述預算約束、資源約束、生產利潤最大化的矛盾就自然消除了。

實際上lump sum返還的方式,之前在學稅收如何影響福利的時候就學過。

政府收稅降低效用,可能有兩方面的原因,一方面是收稅扭曲激勵,另一方面是收稅之後,一部分社會資源到了政府手中,家庭所擁有的總資源減少了,那麼總福利自然降低了。

但是如果我們將tax以lump sum的形式返還,那麼第二個方面的影響就不存在了——整個社會的資源還是那麼多,政府收稅是「取之于民用之于民」,那麼如果這時候效用還是降低,就完全是因為收稅扭曲激勵的緣故了。

因此這種lump sum返還的方式,可以用來分解這兩種效應。

但是在Lindahl模型的這個設定中,lump sum返還就更加重要了,沒有這個返還,這個模型的解都有可能不存在,進一步的機制設計部分就更加無從談起了。

(Photo credit: Oiluj Samall Zeid via VisualHunt.com / CC BY-NC-ND 2.0)

來源:知乎 www.zhihu.com

作者:Richard Xu

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